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\usepackage[utf8x]{inputenc}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\Exercice}[1]{\textsc{\textbf{\textsc{Exercice}}} #1}
\newcommand{\Question}[1]{\textsc{\textbf{\textsc{Question}}} #1}
\newcommand{\question}[1]{\textbf{(#1)}}
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\begin{document}
\title{\textsc{Macro Dynamique}}
\author{\textsc{Université du Maine (Examen, L3)}}
\date{Mercredi 22 mai 2019}
\maketitle
\Exercice{1} Notons $1-\alpha(k)$ l'élasticité de la production par
rapport au travail, où $k$ est le stock de capital par tête,
c'est-à-dire :
\[
\alpha(k) = \frac{k f'(k)}{f(k)}
\]
Montrer que dans un environnement parfaitement concurrentiel,
$1-\alpha(k)$ est aussi la part des revenus du travail dans le revenu
total.\newline
\Exercice{2} Soit $F(K,L)$ une fonction de production néoclassique,
avec $K$ et $L$ les quantités de capital physique et travail utilisées
dans la production. On définit la fonction de production
$G(K,L) = F(K,L)+BK$, où $B$ est un paramètre strictement
positif. \question{1} La fonction $G$ est-elle une fonction de
production néoclassique ? Pourquoi ? \question{2} Montrer que dans le
modèle de Solow sans progrès technique la dynamique du stock de
capital par tête doit satisfaire :
\[
(1+n)k_{t+1} = s g(k_t) + (1-\delta)k_t
\]
$s\in[0,1]$ est le taux d'épargne, $\delta\in[0,1]$ le taux de
dépréciation du stock de capital physique, $n>0$ le taux de croissance
de la population, et $g(k) = G(k,1)$ la production par tête. Réécrire
la dynamique en fonction de $f(k)=F(k,1)$. Interpréter.\question{3}
Sous quelle(s) condition(s) le taux de croissance est-il strictement
positif à long terme ? Interpréter. \question{4} Dans le cas où le
taux de croissance est nul à long terme, c'est-à-dire où un état
stationnaire $k^{\star}>0$ existe, calculer la vitesse d'ajustement
vers l'état stationnaire ainsi que la demi-vie de la distance à l'état
stationnaire. La vitesse d'ajustement est-elle affectée par une
variation du taux d'épargne ?\newline
\Question{} En utilisant le modèle à générations imbriquées, présenté
dans le chapitre 2, décrire l'arbitrage intertemporelle des ménages. En
particulier, discuter les conséquences d'une variation des prix des
facteurs (éventuellement anticipés) sur l'épargne.
\end{document}
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